经典力学中的现象学模型

力学测试是力学研究最基础的研究方法。最早的力学测试的科学方法可以追溯到文艺复兴时期的欧洲。图1（a）为达芬奇设计的线材（wire）单向拉伸下的断裂测试。将左边球袋中的重量相同的小球依次加入线材下悬挂的铁桶中，在一定程度时，线材断裂。用这种方法可以比较不同截面积，不同材料对线材断裂强度的影响。图1（b和c）为伽利略在《关于两门新科学的对话》中设计的悬臂梁弯曲测试（bending test of a cantilever beam），和棒材单拉测试（Uniaxial tension of a bar）。图2为材料测试领域国际领先公司MTS最新的材料测试机。这台机器可以对金属、高分子材料进行单向拉伸、单向压缩、断裂和疲劳测试。我们可以看出，现在的材料测试虽然较达芬奇和伽利略时期更为精细，但没有本质变化。

图1，（a）达芬奇的线材单拉实验。（b）伽利略的悬臂梁弯曲实验。图中A点受拉应力，B点受压应力。（c）伽利略的棒材单拉实验。

图2， MTS公司生产的材料测试机。

力学理论上，用来表示材料对外力响应的数学模型叫做“本构关系”（constitutive relation）。这种模型一般从基础的力学理论出发，提出一个应变能（strain energy）关于应变（strain）的函数，例如小变形线性弹性力学中的胡克定律，大变形非线性弹性力学中的Neo-Hookean模型等等。本构方程里的材料参数一般通过拟合各种工况下的实验数据来获得。在这种经典的力学模型框架下，我们不关心“为什么”（why），而只关心“是什么”（what）。也就是说，我们只满足于实验测得的这些数据所给我们提供的信息，测到什么就是什么，而不去关心为什么被测材料会有这样的力学响应。这种根据现象而得到的模型，可以被称为“现象学模型”（phenomenological model）。

然而，这种现象学的模型已经无法满足科研人员的好奇心。科学探索的欲望不再使人满足于“是什么”，而驱使我们追问“为什么”。而且，随着科学观测手段的升级，我们可以打开微观世界的大门，对分子、原子尺度的现象进行测量。在近期发表的物理学顶级杂志Physical Review Letter的论文中【1】，研究人员用扫描透射显微镜（scanning transmission electron microscopy STEM）第一次在原子尺度观测到了裂纹的发展、愈合和裂纹尖端的震动，见图3（a）。在近期发表在Science子刊Science Advances论文中【2】，研究人员用扫描微波阻抗显微镜（scanning microwave impedance microscopy）对最近大热的魔角石墨烯（graphene bilayer with magic angle）的莫列波纹（moiré pattern）进行观测，得到分辨率高达5纳米的清晰图像。更重要的是，只有我们从分子尺度出发，研究微观尺度的粒子相互作用对宏观材料属性的影响，在搞清楚原理的基础上进行材料的力学模拟，才可能真正形成对其力学性质的洞见，避免在现象学模型这个“黑盒子”里盲人摸象。因此，多尺度模型（multiscale modeling）营运而生，成为力学模拟和计算的热门方向。多尺度模型，即在不同的长度、时间尺度下对材料的属性进行研究，提供连接不同尺度模型的桥梁，让在不同尺度下适用的模型相互沟通，自下而上的对材料的不同属性进行研究。 

图3，（a，左图）金属铼（Rhenium）中的裂纹尖端图像。（b，右图）双层石墨烯的莫列波纹图像。

Orowan教授的怀表

最早提出多尺度观念的人，笔者不得而知，但这一观念的提出至少可以追溯到匈牙利裔物理学家Egon Orowan做的一个有趣的实验。在他1944年发表的论文中【3】，他说了这样的一段话：

“我们做单向拉伸实验可以非常简单快捷，但我们不可能期待从其结果中得到有用信息。因为没有人真正知道这些实验结果意味着什么。这些实验结果是材料内部一系列复杂物理过程的一个外在表现。在某种程度上，一块金属的内在物理现象的复杂性不亚于一块精致的怀表。因此，想通过单向拉伸实验之中得到的寥寥无几的实验数据，试图知道金属的变形机理几乎是过于乐观的痴人说梦。就像期待从一块怀表的抗压强度中学习它复杂的工作原理是一样的。”

Orowan不是一个光说不练的人，他真把他的怀表在压力机上给压碎了，见图4。他在MTS的压力机上用位移控制（displacement-control）完成这个实验。他将怀表竖立，固定底部，在顶部持续施加恒定速率的向下位移，整个实验持续两分钟。

Orowan教授还得到了这个实验的力—位移曲线，见图5（a）。在整个实验过程中，怀表之中的齿轮、指针、表盘、金属边框进行了复杂的相互作用，但我们显然很难从图5（a）的曲线中看出这一复杂的过程，我们也无从知道这块怀表到底是如何被压得稀烂的。

更进一步，Orowan教授指出，就算是两条看上去平滑美观，非常相似的曲线，材料的作用机理也有可能完全不同。图5（b）是铜镍合金的单拉实验结果，图5（c）是质密牛骨的单拉实验结果，二者看起来好像很相似，但其材料相应和断裂机理其实完全不同。

因此，为了明白材料宏观属性的作用机理，我们迫切地需要从微观入手对材料的微观相互作用进行充分研究。接下来，我来介绍多尺度模型的特点和分类。

图4，Orowan教授可怜的怀表，实验前、中、后。 

图5，（a）Orowan教授怀表的单压实验中的力—位移曲线。（b）铜镍合金的单拉实验结果（c）质密牛骨的单拉实验结果。

多尺度模型的特点

当我们把观察的尺度放到微观，我们就会发现微观世界的时间尺度和长度尺度与我们熟知的宏观世界完全不同。因此，在不同尺度下，我们选择的力学模型也非常不同。例如，我们要研究铜的塑性变形过程，见图（6）。在宏观尺度下（毫米级别）， 我们可以使用一些现象学模型，如J-2塑性理论、Johnson—cook模型等等。如果我们进入微米级别，我们就会发现以晶格形式存在的铜。晶格的大小，晶格之间的相互作用，以及晶格边界的运动都会影响铜的塑性。如果我们将尺度进一步缩小到纳米尺度，就会发现其实金属材料塑性的根源在于位错的形成和移动。最后，如果我们进一步放大到单个原子尺度，我们可以观察到，位错的本质其实是一种原子排列的缺陷。不完美的原子排列导致位错，位错的形成、移动和聚集形成材料的塑性、疲劳和断裂等一系列宏观现象。

就计算量而言，不同尺度的模型能处理的长度尺寸和时间尺寸也是不同的，往往越微观，计算复杂性就越大，对应的长度尺寸和时间尺寸也就越小。对于宏观的材料，我们可以用有限元（finite element method FEM）来计算以米为单位大小的模型。如果用分子动力学（Molecular dynamics MD）模型，最多可以计算几百万个原子在几百纳秒之内的相互作用。更进一步，如果用到量子力学的模型（DFT），世界最顶尖的计算机也只能完成几百个原子的模拟。

图6，一枚铜质硬币中不同的时间尺度和长度尺度。（a）晶格（b）晶格边界（c）位错（d）分子尺度下的排列缺陷。

多尺度模型的分类

按方法论来划分，多尺度模型可以分为顺序多尺度方法（sequential multiscale modeling ）和共时多尺度方法（concurrent multiscale modeling）。

顺序多尺度方法的思想其实蕴含在大多数的科学研究之中，就是先从小尺度上对材料属性进行研究，并得到一些有用的结论和参数。接下来，将这些结论和参数作为先验的知识、和已知量，在大尺度下对材料进行研究。在顺序多尺度方法中，不同尺度的研究有先后之分，先小尺度，再大尺度。当对大尺度进行研究的时候，我们就完全不用再理会小尺度的模型了。

共时多尺度方法，顾名思义，就是不同尺度的模型同时考虑，不同尺度下的计算同时进行。往往大尺度的计算会为小尺度提供边界条件（boundary condition），小尺度的精细计算会为大尺度提供能量形式。模型计算过程就这样交叉往复地在两个尺度下同时进行。比较经典的共时多尺度计算方法为美国明尼苏达大学Ellad Tadmor教授提出的Quasicontinuum多尺度模型，用来解决晶体物质的断裂、大变形、位错问题【4】。在这个模型中，材料被分为不同的区域，应力集中区使用分子模拟，非应力集中区使用有限元模拟。而有限元模拟的能量形式是根据柯西—波尔近似（Cauchy-Born rule）从原子尺度的计算得来的。在本专栏接下来的文章中，我们会对Quasicontinuum方法进行详细的介绍。

参考文献：

【1】     In Situ Scanning Transmission Electron Microscopy Observations of Fracture at the Atomic Scale https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.125.246102

【2】     Ultrahigh-resolution scanning microwave impedance microscopy of moiré lattices and superstructures https://advances.sciencemag.org/content/6/50/eabd1919

【3】     E. Orowan. Discussion of the significance of tensile and other mechanical test properties of metals. In Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, Volume 151, pages 131–146, London: Institute of Mechanical Engineers, 1944.

【4】 Quasicontinuum analysis of defects in solids https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01418619608243000

本专栏的目的

本专栏旨在向广大力学研究者介绍多尺度模型研究的历史和进展。文章类型包括（不限于）以下几种：

1） 介绍多尺度模型的经典书籍和论文

2） 介绍多尺度模拟的开源工具

3） 追踪多尺度模拟和计算论文的最新热点

4） 多尺度模型领域大牛的学术综述

订阅费：198元/年（118.8元/半年）

欢迎订阅

专栏地址：多尺度模拟与计算